How many terms of the series 1 + 2 + 3 +...... will sum to 5050?

श्रेणी 1 + 2 + 3 +...... के कितने पदों का योगफल 5050 होगा?

Solution:

I Method:

The given series is an AP and sum of n terms of AP = S_n = n/2[2a + (n − 1) × d]

First term (a) =1

Difference (d) = 2-1=1

Given -

Sum of total terms S_n = 5050

Number of terms n=?

S_n = n/2[2a + (n − 1) × d]

5050 = n/2[2*1 + (n − 1) × 1]

5050 = n/2[2 + n − 1]

5050 = n/2[n+1]

10100 = n[n+1]

10100 = n²+n

n²+n -10100 = 0

n² +(101-100)n -10100 = 0

n² + 101n - 100n -10100 = 0

n (n+101) - 100(n+101) = 0

(n-100) (n+101) = 0

n = 100 / n = -101

The value of n cannot be negative, so n = 100

So, the sum of 100 terms of the series 1 + 2 + 3 +..... will be 5050.

II Method:

Sum of n natural numbers = n(n+1)/2

According to the question -

5050 = n(n+1)/2

10100 = n²+n

n²+n = 10100

n² +(101-100)n -10100 = 0

n² + 101n - 100n -10100 = 0

n (n+101) - 100(n+101) = 0

(n-100) (n+101) = 0

n = 100 / n = -101

The value of n cannot be negative, so n = 100

So, the sum of 100 terms of the series 1 + 2 + 3 +..... will be 5050.

Hence the correct answer is option C.

हल:

I Method:

दी गयी श्रेणी एक सामानांतर श्रेणी है और सामानांतर श्रेणी के n पदों का योग = S_n= n/2[2a + (n − 1) × d]  

प्रथम पद a =1

सर्वान्तर d = 2-1=1

कुल पदों का योग S_n = 5050

पदों की संख्या n=?

S_n = n/2[2a + (n − 1) × d]  

5050 = n/2[2*1 + (n − 1) × 1]  

5050 = n/2[2 + n − 1]

5050 = n/2[n+1]

10100 = n[n+1]  

10100 = n²+n

n² +n -10100 = 0

n² +(101-100)n -10100 = 0

n² + 101n - 100n -10100 = 0

n (n+101) - 100(n+101) = 0

(n-100) (n+101) = 0

n = 100 / n = -101

n का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता है अतः n = 100 

अतः श्रेणी 1 + 2 + 3 +...... के 100 पदों का योग 5050 होगा l 

II Method:

n प्राकृतिक संख्याओं का योग = n(n+1)/2 

प्रशानानुसार -

5050 = n(n+1)/2

10100 = n²+n

n²+n = 10100

n² +(101-100)n -10100 = 0

n² + 101n - 100n -10100 = 0

n (n+101) - 100(n+101) = 0

(n-100) (n+101) = 0

n = 100 / n = -101

n का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता है अतः n = 100 

अतः श्रेणी 1 + 2 + 3 +...... के 100 पदों का योग 5050 होगा l 

अतः सही उत्तर विकल्प C है l

What will be the sum of 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + ..... upto 15 terms?

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + .....के 15 पदों तक का योगफल क्या होगा ?