Sum of 11²+12²+13²+....+21² ?

11²+12²+13²+....+21² का योग = ?

Solution:

First of all we will find the sum of numbers up to 1² +2² + …….21². After this, we will find the sum of numbers up to 1² +2²+.......+10². Then we will subtract the sum of numbers up to 1² +2²+.......+10² from the sum of numbers up to 1² +2² + …….21², so that we will know the sum of numbers up to 11²+12²+13²+....+21².

Since the sum of squares of n consecutive natural numbers = n(n+1)(2n+1)/6

Then -

1² +2² + …….21²

n(n+1)(2n+1)/6

= 21(21+1)(2 x 21 +1)/6

= 21(22)(42+1)/6

= 21 x 22 x 43 / 6

= 19866/6

= 3311 ….(1)

1² +2²+.......+10²

n(n+1)(2n+1)/6

= 10(10+1)(2 x 10+1)/6

= 10 (11)(21)/6

= 2310/6

= 385…..(2)

Sum of 11²+12²+13²+....+21² = Sum of 1² +2² + …….21² - sum of 1² +2²+.......+10²

= 3311 - 385

= 2926

Hence, sum of 11²+12²+13²+....+21² = 2926

Hence the correct answer is option A. 

हल:

सबसे पहले 1² +2² + …….21²  तक की संख्याओं का योग ज्ञात करेंगे l इसके बाद  1² +2²+.......+10² तक की संख्याओं का योग ज्ञात करेंगे l तब 1² +2² + …….21² तक की संख्याओं के योग में से  1² +2²+.......+10² तक की संख्याओं के योग को घटा देंगे जिससे की हमें  11²+12²+13²+....+21² तक की संख्याओं का योग ज्ञात हो जायेगा l 

चूँकि n क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग = n(n+1)(2n+1)/6

तब -

 1² +2² + …….21²  

n(n+1)(2n+1)/6

= 21(21+1)(2 x 21 +1)/6

= 21(22)(42+1)/6

= 21 x 22 x 43 / 6

= 19866/6

= 3311 ….(1)

1² +2²+.......+10² 

n(n+1)(2n+1)/6

= 10(10+1)(2 x 10+1)/6

= 10 (11)(21)/6

= 2310/6

= 385…..(2)

11²+12²+13²+....+21²  का योग = 1² +2² + …….21² का योग -  1² +2²+.......+10²  का योग

= 3311-385

= 2926

 अतः 11²+12²+13²+....+21²  का योग = 2926 

अतः सही उत्तर विकल्प A है l