Sum of 11²+12²+13²+....+21² ?

11²+12²+13²+....+21² का योग = ?

Solution:

First of all we will find the sum of numbers up to 1² +2² + …….21². After this, we will find the sum of numbers up to 1² +2²+.......+10². Then we will subtract the sum of numbers up to 1² +2²+.......+10² from the sum of numbers up to 1² +2² + …….21², so that we will know the sum of numbers up to 11²+12²+13²+....+21².

Since the sum of squares of n consecutive natural numbers = n(n+1)(2n+1)/6

Then -

1² +2² + …….21²

n(n+1)(2n+1)/6

= 21(21+1)(2 x 21 +1)/6

= 21(22)(42+1)/6

= 21 x 22 x 43 / 6

= 19866/6

= 3311 ….(1)

1² +2²+.......+10²

n(n+1)(2n+1)/6

= 10(10+1)(2 x 10+1)/6

= 10 (11)(21)/6

= 2310/6

= 385…..(2)

Sum of 11²+12²+13²+....+21² = Sum of 1² +2² + …….21² - sum of 1² +2²+.......+10²

= 3311 - 385

= 2926

Hence, sum of 11²+12²+13²+....+21² = 2926

Hence the correct answer is option A. 

हल:

सबसे पहले 1² +2² + …….21²  तक की संख्याओं का योग ज्ञात करेंगे l इसके बाद  1² +2²+.......+10² तक की संख्याओं का योग ज्ञात करेंगे l तब 1² +2² + …….21² तक की संख्याओं के योग में से  1² +2²+.......+10² तक की संख्याओं के योग को घटा देंगे जिससे की हमें  11²+12²+13²+....+21² तक की संख्याओं का योग ज्ञात हो जायेगा l 

चूँकि n क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग = n(n+1)(2n+1)/6

तब -

 1² +2² + …….21²  

n(n+1)(2n+1)/6

= 21(21+1)(2 x 21 +1)/6

= 21(22)(42+1)/6

= 21 x 22 x 43 / 6

= 19866/6

= 3311 ….(1)

1² +2²+.......+10² 

n(n+1)(2n+1)/6

= 10(10+1)(2 x 10+1)/6

= 10 (11)(21)/6

= 2310/6

= 385…..(2)

11²+12²+13²+....+21²  का योग = 1² +2² + …….21² का योग -  1² +2²+.......+10²  का योग

= 3311-385

= 2926

 अतः 11²+12²+13²+....+21²  का योग = 2926 

अतः सही उत्तर विकल्प A है l

The product of two numbers is 336, their sum is 32 more than their difference. What are those numbers?

दो संख्याओं का गुणनफल 336 है, उनका योग उनके अंतर से 32 अधिक है। वे संख्याएँ क्या हैं?